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                     Aparato experimental :

  • Fonte de luz: preferencialmente com uma boa distribuição entre as intensidades dos comprimentos de onda;

  • Suportes com nivelamento: para alinhar e fixar os itens do aparato;

  • Sensor de Luz: medir as instensidades luminosas;

  • Cubeta: recipiente transparente onde ficará a solução;

  • Monocromador (σ = 0,5 nm): permite escolher a cor (comprimento de onda) desejada;

  • Balança Analítica (σ = 0,001g): balança de alta precisão; 

  • Paquímetro (σ = 0,02 mm): para medir as dimensões da cubeta, especificamente a distância  l indicada na figura 1;

  • Seringa de 10ml descartável (σ = 0,1 ml): para manipular as diversas soluções;

  • Água Bidestilada (solvente): usualmente vendida como água de bateria;

  • Sulfato de Cobre  - CuSO4  (soluto): sal colorido (azul) ,a fim de medir a absorvância no espectro visível.

O que esperamos verificar?

   Com este experimento, espera-se encontrar uma relação linear através de uma reta que passe pelos pontos, provenientes de dados obtidos em laboratório. Para ajustar esta reta, será utilizado o Método dos Mínimos Quadrados por meio do software WebROOT (desenvolvido pelo grupo de íons pesados relativísticos do IF-USP). 

   É esperado, também, que se obtenha desvios na Lei de Lambert-Beer, pois ela não se aplica a grandes concentrações de soluto.

  

    Figura 02 - CuSO4 . 5H20 - Sulfato de Cobre pentahidratado

 

 

λ (lambda) = comprimento de onda

 

σ (sigma) = incerteza do objeto

 

   Para montar o aparato experimental, alinhou-se a fonte de luz com o monocromador e a cubeta utilizando os suportes de nivelamento, a fim de obter melhor estabilidade, os instrumentos foram fixados nos suportes e entre si com fita adesiva.

   Em seguida, foi realizado o isolamento deste conjunto, cobrindo-o com um tecido escuro. É importante lembrar que, durante a tomada de dados, a cubeta foi mantida totalmente isolada de qualquer luminosidade externa, para que assim, só recebesse luz proveniente do monocromador. A fim de garantir este detalhe, a sensibilidade do sensor de luz foi colocada no nível mais alto (x100) e ele foi coberto junto do aparato. Este sensor estava ligado a uma interface 850 Universal PASCO que utiliza o software Capstone, e já configurado para calcular a média e o desvio-padrão dos dados. 

    Com o intuito de considerar o isolamento viável, foi medida a intensidade de luz do laboratório com o sensor já unido ao conjunto isolado, utilizando a luminosidade mínima do local foi obtida uma intensidade de 0,01%, que foi considerada satisfatória.

 

 Realizou-se medidas da intensidade de emissão luminosa da fonte em 41 comprimentos de onda diferentes dentro do espectro do visível (380 à 780 nm), para isso variou-se 10 nm entre cada comprimento de onda. Então, obteve-se o gráfico da figura ao lado. É possível observar uma forte emissão das cores, iniciando-se pela azul (460 à 490 nm) e atingindo o pico nas cores verde (510 à 560 nm) e amarelo (570 à 590 nm).

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  Foi realizado o mesmo tipo de tomada de dados com o acréscimo da cubeta de vidro entre o monocromador e o sensor de luz. Em um primeiro momento a cubeta continha apenas água bidestilada, em um outro momento foi colocada a solução (água+CuSO4), nos dois casos o objetivo era obter a luminosidade que atravessava o sistema, ou seja, a transmitância.
  Ao variar o comprimento de onda como anteriromente, foram tomados os dados e obtido o gráfico da figura ao lado.

 

   Finalmente, a partir do gráfico da transmitância foi possível utilizar a equação (3) para obter o gráfico da absorvância da solução, figura 7.
  A partir dele é viável escolher o comprimento de onda a ser utilizado para medir a absorção das diversas amostras. Foi escolhido um comprimento de onda onde a absorção não variava muito e  nem era alta.

  Parece evidente que λ = 710 nm é a melhor opção, para comprovar, foram testadas as variações na vizinhaça deste λ, levando em conta também a incerteza do monocromador: ±0,5 nm. Verificou-se que as variações da absorvância dos comprimentos de onda no intervalo de 705 nm à 715 nm foi mínima, portanto o 710 nm será o comprimento de ideal.

 

   Foi necessário preparar diversas soluções para que fosse possível medir a absorção de diversas concentrações. É importante lembrar que rara realizar as medidas do peso da água e do sulfato de cobre (CuSO4) foi utilizada a balança analítica do Laboratório Didático do IF-USP. Esta balança é altamente precisa e possui incerteza da ordem de 0,0001g.
   Inicialmente, preparou-se uma solução padrão (chamada "solução mãe"), a partir da qual todas as outras foram feitas. Para preparar a solução mãe, colocou-se 168,8817g de água bi-destilada e adicionou-se sulfato de cobre em pequenas quantidades até se obter uma solução quase saturada. Então, a solução foi pesada obtendo o valor de 186,3625g , sendo que a diferença entre solução e solvente é o soluto, CuSO4, que é igual a 17,4808g.

   Em seguida, com uma seringa de 10 ml, foi retirado 1 ml da solução mãe e adicionado 2 ml de água bi-destilada, sendo que este processo foi realizado sucessivas vezes para diferentes quantidades de água, ou seja, foram feitas soluções adicionando 4 ml, 6 ml, ... , 30 ml, totalizando assim 15 soluções diferentes (chamadas de "soluções filhas")
   Para este experimento, o ideal seria diluir as amostras em maiores quantidades de água, mas, devido às limitações, não havia disponibilidade de vidraria adequada para preparar grandes volumes de solução. Por conta disso foram utilizados copos descartáveis de 200ml. 
    Destaca-se que, em geral, 5 soluções são suficientes para este experimento. Porém como não foi utilizado um Espectrofotômetro, mas sim um aparato cujas condições e instrumentos oferecem dados com exatidão inferior, optou-se por uma maior quantidade de dados. 

 

   

Incertezas

   Após escolhido o comprimento de onda, iniciou-se a tomada de dados. É importante ressaltar que a cada troca de amostras as cubetas foram lavadas com água bi-destilada, para que assim a concentração da amostra seguinte não fosse afetada.   

 

    

2ª Etapa - Preparo das soluções

 

    Assim, a fórmula utilizada para o cálculo da incerteza da concentração da solução mãe foi [5] :

 

    Figura 03 -  Conjunto/aparato: suporte com cubeta (coberta por tecido), monocromador, fonte de luz  sob suporte. Ao lado está o sulfato de cobre e uma solução prepada.

 

 

3ª Etapa - Gráficos dos espectros de transmitância e absorvância

    Figura 5 -  Espectro de emissão da fonte luminosa.

    Figura 6 -  Espectro transmitância do solvente e solução.

 Figura 7 - Espectro da absorvância da solução (sulfato de cobre e água bidestilada)

    Na Figura ao lado, o esquema de um espectrofotômetro para demonstrar o princípio do aparato que será utilizado neste experimento.

    Figura 01 - Esquema de funciomamento de um espectrofotômetro

 

 

4ª Etapa - Tomada de dados das 15 amostras de Sulfato de Cobre

Tomada de dados em Laboratório

    Figura 4 -  Incerteza da medida da intensidade luminosa pode ser dada pelo desvio-padrão da função densidade de probabilidade se for  assumido que a dispersão dos dados é gaussiana

 

   A partir da equação (3) e das fórmulas de propagação, obtém-se a incerteza da absorvância, dada pela equação (4). Para as soluções filhas temos a equação (5), onde n corresponde ao número de vezes que a seringa foi utilizada e i a quantidade de mililitros de cada utilização.

 

 

   Para todos os dados foram obtidas as médias e desvios-padrão da intensidade luminosa, utilizou-se aproximadamente 2000 medidas. O intuito era obter a incerteza do sensor a partir do desvio-padrão, assumindo-se que a flutuação dos dados seguem uma distribuição gaussiana. Dessa forma, foram utilizadas 3 medidas de intensidade luminosa: 5%, 50% e 85%.
   Como para valores de intensidade luminosa baixa, praticamente, não houveram variação dos valores, decidiu-se tomar como incerteza o desvio-padrão da intensidade de 85%, pois esta seria a maior incerteza cometida em alguma medida.

 

    

 

   Para as demais grandezas,foram utilizadas as fórmulas usuais de propagação de incertezas:

 

Espectrofotômetro

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1ª Etapa - Disposição e calibração dos instrumentos

"A luz  é capaz de transmitir informações físicas sobre os materiais que são atravessados por ela ou a refletem." [1] 

 

   Essa sentença consegue expressar a importância dos estudos dos efeitos da luz sobre a matéria e as diversas aplicações possíveis na ciência. 

   O estudo da natureza da luz e sua interação com matéria já intrigava os filósofos da Grécia Antiga, provocando debates acalorados no século XVII entre os seguidores da Teoria Corpuscular de Issac Newton e os seguidores da Teoria Ondulatória de Christiaan Huygens. Mas foi no final do século XIX que o estudo sobre efeito fotoelétrico de Einstein aliado ao modelo atômico de Bohr permitiu que fosse compreendida a interação entre a luz e a matéria.

   Então com a Mecânica Quântica foi possível entender a dualidade da natureza da luz e, também, a maneira como os átomos absorvem e emitem energia luminosa. E por meio deste conhecimento, viabilizou-se a identificação do material constituinte das estrelas a anos-luz de distância, além disso, possibilitou a recognição de soluções químicas em laboratório.

  Espectrofotometria

    A espectrofotometria é uma das formas mais usuais de identificação da concentração de substâncias, realizada por meio da análise da absorção de um feixe de luz incidente sobre a solução, ou seja, ao analisar a quantidade de radiação eletromagnética absorvida em diferentes comprimentos de onda é possível identificar as substâncias e suas concentrações. Essa técnica é uma das mais utilizadas nos laboratórios de bioquímica.

  Lei de Lambert-Beer

    A lei de Lambert-Beer afirma que existe uma relação linear entre a concentração de uma solução com a absorção de um feixe de luz monocromática que passa através dela. Ao estabelecer uma relação entre a intensidade luminosa que entra na solução e a luminosidade que sai  (chama-se transmitância) , podemos saber o quanto de luz foi absorvida (ou seja, a absorvância da solução). É importante citar que a absorvância depende do comprimento de onda da luz monocromática. 

    Na plotagem de dados das soluções de maiores concentração, ficou evidente o desvio na Lei de Lambert-Beer, assim como o esperado. Na figura ao lado é possível observar esse desvio em azul e, também, o destaque em vermelho para absorção da solução mãe, qual está significativamente distante da reta teórica. 

    É importante citar que a absorvância é uma grandeza adimensional, portanto não possui uma unidade de medida.

    

   Ao plotar os dados das soluções de menores concentrações, foi obtido o gráfico da figura ao lado. O resultado foi, como o esperado, uma reta ajustada dada pela equação: y = ax+b. E os valores obtidos para esse ajuste foram:
 

a = 3,85 ± 0,14 (L/mol)

 

b = 0,057 ± 0,004

 

covariância entre a e b =  -0,0005

 

correlação (a, b) = -0,94

 

χ2 (chi-quadrado) = 70,659

 

χ2 reduzido = 5,435

    A partir do novo valor do χ2 obtido com as incertezas corrigidas para a absorvância já é perceptível que a qualidade do ajuste melhorou. Mas, este valor de χ2 não é válido para verificar a confiabilidade dos dados, como foi dito anteriormente, será necessário utilizar o Teste-Z para verificar a confiabilidade deste ajuste, no caso o teste será realizado com o coeficiente de absorção molar (ϵ). É possível obter ϵ pelos parâmetros do ajuste e suas respectivas incertezas utilizando as expressões abaixo:

    O gráfico de resíduos permite verificar como os dados variam em relação a curva ajustada. A partir da análise dos resíduos na Figura 10 , foi possível verificar que os dados estão muito distantes entre si.

Análise de dados

Definições matemáticas da Lei de Lambert-Beer

    Figura 8 -  Gráfico: Absorvância x Concentração - Curva teórica estimada em contraste com a curva estimada dos dados. 

    Figura 9 - Gráfico : Absorvância x Concentração das 10 amostras mais diluidas. 

Como analisar um ajuste com χ2 reduzido

    Figura 11 - Gráfico: Absorvância X Concentração com incertezas corrigidas. 

    Com isso, afirma-se que o valor do χ2 para este ajuste está muito alto, provavelmente as incertezas foram subestimadas. Porém é possível estimar a incerteza correta utilizando o valor da incerteza subestimada multiplicado pela raiz do valor do  χ2 dividido pelo número de graus de liberdade.

 

 

    Apesar de todas a limitações instrumentais, foi possível verificar o que havia sido proposto, a validade da Lei de Lambert-Beer. Verificou-se também que esta Lei possui desvios para soluções muito concentradas, como observado na figura 8. Os ruídos verificados no gráfico de resíduos da figura 12 não afetaram a qualidade do ajuste e ficou evidente a relação linear entre a absorvância e concentraçao de uma solução, prevista pela Lei de Lambert-Beer. Surpreendentemente, foi possivel obter um valor para o coeficiente de abrsoção molar compatível com valores obtidos em experimentos onde os aparelhos utilizados eram mais precisos.

 

 

 

 

 

   Ao corrigir as incertezas foi obtido o gráfico ao lado, com o mesmo ajuste de reta dado pela equação: y = ax + b, fica evidente, neste caso, que diferente da figura 9, a grande maioria dos pontos estão mais próximos da reta ajustada. E os valores dos parâmetros de ajuste são: 

 

a= 3,83  ± 0,33 (L/mol)

 

b= 0,057  ± 0,008

 

covariância entre a e b =  -0,00261137

 

correlação (a, b) = -0,94

 

χ2 (Chi-quadrado) = 13.4433

 

χ2 reduzido = 1,03

 

   No gráfico de resíduos do novo ajuste, figura 12, a distância dos dados em relação a linha do zero é visivelmente menor. Porém, alguns dados parecem estar juntos, embora não seja possível visualizar algum erro sistemático.

   A ocorrência disto pode ser consequência dos fatores ambientais não terem sido considerados e, também, por não ter se seguido uma sequência monotônica decrescente na tomada de dados das amostras.

  Dados obtidos em laboratório, infelizmente, não estão livres de ruídos, estes podem ter origem termodinâmica ou quântica, seja na solução ou nos próprios circuitos dos sensores. [3] 

  Foi por conta destes fatores que surgiram incertezas subestimadas que precisaram ser corrigidas. O ideal para este tipo de tomada de dados, seria utilizar as amostras de forma aleatória para que assim os ruídos fossem distribuídos aleatoriamente.

     

 

    A partir da equação (7) , temos que ϵ = 4,39 (L)/(mol.cm)e sua incerteza a partir da equação (8) é 0,39 (L)/(mol.cm).

   Sendo o valor de referência para o coeficiente de absorção molar dado por 4,15(L)/(mol.cm) [6] foi possível realizar o Teste-Z. Este teste só é válido para este caso por haver uma quantidade considerável de graus de liberdade, em casos com menores quantidades é aconselhável utilizar o Teste - T de Student. É importante elucidar que quando a quantidade de graus de liberdade tende ao infinito os dois testes se aproximam, e o Teste-Z se torna o mais indicado, como é o caso.

    O Teste-Z consiste em subtrair o valor de referência do valor obtido e dividir este resultado pela incerteza do obtido, ou seja:

 

 

     O resultado para Z deve estar dentro do intervalo de confiança de 95%, ao substituir valores na equação (9) foi obtido Z = 0,92. Logo, este valor está dentro do intervalo esperado implicando que o valor obtido pelo ajuste para ϵ é compativel com o valor de referência. Destaca-se que este teste não era necessário para este caso, pois o valor de referência estava dentro do intervado de incerteza do valor obtido, porém o teste proporciona uma boa forma de verificar o nível de confiabilidade dos dados.

    Figura 10 - Gráfico de resíduos da Figura 9 

    Figura 12 -  Gráfico de resíduos do ajuste com incertezas corrigidas

Conclusão

    Entretanto, quando o  χ2 é utilizado para esta correção, ele pode ser descartado como teste de hipótese, e não poderá ser utilizado para o nosso ajuste com as incertezas corrigidas. Mas ainda é possível utilizar o Teste-Z como teste de hipótese.

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(8)

(9)

Referências Bibliográficas

 

[1] Mendes, M. F. A; Espectrofotometria UFRGS. <http://www.ufrgs.br/leo/site_espec/index.html>. Acesso em: 09 de abril de 2015;


[2] CEFET Química - RJ; Análise Instrumental; Espectrofotometria. <http://www.ifrj.edu.br/webfm_send/547>. Acesso em: 09 de abril de 2015;


[3] Douglas A. Skoog, F. James Holler, Stanley R. Crouch - Principles of Instrumental Analysis, 6º Edition, Ed. Cengage Learning;

 

[4] Johns Hopkins University - What are Those Squiggly Lines? - Using Light to Learn About the Universe. <http://violet.pha.jhu.edu/~wpb/spectroscopy/spec_home.html>. Acesso em: 09 abril de 2015;


[5] Portal Action - Cálculo das Incertezas devido às soluções. <http://www.portalaction.com.br/incerteza-de-medicao/451-calculo-de-incerteza-devido-solucoes>. Acesso em: 12 de junho de 2015;

 

[6] Dr. Bodwin's Page - Chemistry, Education, Media. <http://www.drbodwin.com/research/phetuvvis01.xlsx>. Acesso em: 14 de junho 2015

 

 

Imagens:

 

[Figura 1] - InfoEscola.<http://www.infoescola.com/quimica/espectrofotometria/>. Acesso em: 09 de abril de 2015;

 

[Figura 2] - Made-in-China.com <http://pt.made-in-china.com/co_xct002/product_Copper-Sulphate-98-Min_hrurgynhg.html>. Acesso em: 09 de abril de 2015.

 

Todas as outras figuras são de autoria própria.
 

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